1º- Necesitaremos acceso FTP a nuestra web. Entramos a /wp-content/themes/nombre_de_tu_tema/ y buscamos el archivo functions.php.

2º- Lo abrimos y editamos, aunque siempre recomendamos hacer copias de seguridad previamente y añadimos lo siguiente:

function hide_notices_dashboard() {
global $wp_filter;

if (is_network_admin() and isset($wp_filter["network_admin_notices"])) {
unset($wp_filter['network_admin_notices']);
} elseif(is_user_admin() and isset($wp_filter["user_admin_notices"])) {
unset($wp_filter['user_admin_notices']);
} else {
if(isset($wp_filter["admin_notices"])) {
unset($wp_filter['admin_notices']);
}
}

if (isset($wp_filter["all_admin_notices"])) {
unset($wp_filter['all_admin_notices']);
}
}
add_action( 'admin_init', 'hide_notices_dashboard' );

Eso es todo ya tenemos ocultas las notificaciones de los plugins y temas

Ocultar únicamente los avisos de actualización

Si queremos ocultar únicamente los de los plugins:

remove_action( 'load-update-core.php', 'wp_update_plugins' );
add_filter( 'pre_site_transient_update_plugins', create_function( '$a', "return null;" ) );

Y si deseamos no mostrar los de los temas:

add_action( 'admin_head', 'ocultar_notificacion_actualizacion', 1 );
function ocultar_notificacion_actualizacion() {
if ( ! current_user_can( 'update_core' )) {
remove_action( 'admin_notices', 'update_nag', 3 );
}
}